§1
Filsafat berarti “Cinta kepada ilmu”, berasal dari kata ‘Philo’ = cinta dan “Sophos’ = ilmu atau hikmah. Secara historis, filsafat menjadi induksegala ilmu pengetahuan yang berkembang sejak zaman Yunani kuno (Greek) sampaizaman modern sekarang. [Ontology,Epistomologi, dan Axiologi].
§2
HakikatMatematika:
Matematika berasal dari bahasaYunani “Matthein’ atau ‘Matethenein’ yang artinya mempelajari,kata ini erat kaitannya dengan kata Sansekerta, ‘Medha’ atau ‘Widya’artinya kepandaian atau intelegensia.
Matematika sebagai salah satuilmu dasar, dewasa ini berkembang amat pesat, baik materi maupun kegunaannya.Matematika mencakup Aritmetika (kajian tentang bilangan dan hitungan), Aljabar(kajian tentang bahasa symbol, operasi hitung dan relasi), Geometri (kajian tentangbentuk, ukuran, ruang dan keterhubungan), Statistika (ilmu tentangpengumpulan, pengolahan, deskripsi data dan inferensi), Kalkulus (kajian tentangperubahan, limit dan keterhinggaan).
Matematika (KBBI), berarti tentangbilangan-bilangan, hubungan antara bilangan dan prosedur operasional yangdigunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan.
Matematika sesungguhnya tidakhanya membahas tentang bilangan saja akan tetapi lebih tepat jika dikatakanbahwa matematika adalah ilmu pengetahuan tentang penalaran yang logis danmasalah-masalah yang berhubungan dengan bilangan. Untuk memperjelas pengertianmatematika dari beberapa ahli diantaranya Suriasumantri
Dalam mempelajari matematikadapat dilakukan sebagian demi sebagian saja mengingat matematika adalah suatuilmu yang prerequisite dan terkait antara satu bahasan (materi) dengan bahasanyang lainnya, artinya pokok bahasan yang satu sangat terkait dengan pokokbahasan yang lainnya.
menyatakan Matematika mempunyai kelebihan lain dibanding bahasa verbal.Matematika mengembangkan bahasa numerik yang memungkinkan kita untuk melakukanpengukuran secara kuantitatif.Karso, menyatakan dalam memahami konsep matematika didasarioleh konsep-konsep sebelumnya. Matematika tersusun secara hirarkis yang satusama lainnya berkaitan erat konsep yang lebih tinggi tidak mungkin dapatdipahami sebelum memahami dengan baik konsep atau bahasan sebelumnya yangmenjadi prasyarat. Ini berarti belajar matematika berdasarkan kepada pengalamanbelajar masa lalu. Seseorang akan mudah mempelajari suatu materi matematikayang baru bila didasarkan kepada apa yang telah diketahui sebelumnya. Masalah pengalaman mempelajari yang lalu akanmempengaruhi proses belajar materi matematika berikutnya yang tersusun secarfahirarkis.
Matematika sebagai ilmu eksakta, yang berfungsi sebagai alatmenyelesaikan setiap masalah di bidang ilmu-ilmu eksakta.,. Sujono, menyatakan matematika adalah cabang ilmupengetahuan yang eksak dan terorganisasi secara sistematik. Pandangan inimemberi arti bahwa matematika dapat merupakan pengetahuan eksak. Hal inimemungkinkan matematika mengembangkan konsep pengukuran yang bersifatkuantitatif. Matematika adalah ilmuyang memberikan jawaban/penyelesaian yang lebih karena bersifat eksak,memungkinkan pemecahan masalah lebih tetap dan cermat.
Matematika merupakan ilmu yang memungkinkan perkembangan darikualitatif menjadi kuantitatif.
Pandangan manusia tentangmatematika berbeda-beda, tergantung pada pengetahuan dan pengalaman masing-masing;matematika tidak hanya perhitungan yang meliputi tambah, kurang, bagi dan kalisaja tetapi ada pula juga melibatkan topik-topik seperti geometri, aritmetika,aljabar, kalkulus dan trigonometri.. (Hasnati)
§3.
Sampaisaat ini pengertian matematika belum mendapat satu kesepakatan antar paramatematikawan. Namun demikian, (James and James yang dikutip Karso, 1993) menyatakan bahwamatematika timbul dan berakar dari pemikiran manusia yang berhubungan dengan ide,proses dan penalaran.
Dalamperkembangan disiplim ilmu matematika, penyaluran ide tersebut melalui prosesyang ditunjang dengan penalaran. Penalaran ini membutuhkan pengamatan, bahkanpercobaan-percobaan dalam memperoleh fakta yang dapat digunakan sebagai bahanargumentasi.
Jadiide sebagai hasil pemikiran manusia itu akan memiliki struktur dan system tertentu yang hubungan-hubungannya diaturmenurut aturan, urutan yang logis dansistematik.
Lebihlanjut (James and James) menyatakan bahwa matematika terdiri dari empatwawasan yang luas, yaitu aritmetika, aljabar, geometri dan analisis.. Matematikastrukturyang bersifat deduktif atau aksiomatik, akurat, ketat dan semacamnya.
Sedangmenurut (Russel yang dikutip Ruseeffendi 1988) menyatakan bahwa “Mathematics is the queen of the seciences” (Matematikaadalah ratunya ilmu).
Matematikaitu tidak bergantung kepada bidang ilmu lain. Matematika adalah ilmu pengetahuan tentang struktur yangterorganisasikan yang didasarkan pada unsur-unsur yang tak terdifinisikan, aksioma atau postulat dan dapatditurunkan menjadi teorema atau dalilyang pembuktiannya dapat diterima secara deduktif. Deduktif artinyamengandalkan beberapa fakta yang sebelumnya dianggap benar dan kesimpulan akhiryang ditarik merupakan konsekuensi logis dari fakta-fakta tersebut yangsebelumnya telah diketahui. Jadi matematika dapat observasi, pengamatan,coba-coba (induktif) yang tidak dapat diterima secara umum, tetapi generalisasiyang didasarkan pada pembuktian secara deduktif. Selain itu (Johanson andRising seperti dikutip Karso1993) menyatakan bahwa matematikaadalah ilmu tentang pola, keteraturanpola, atau ide dan matematika adalah suatu seni, keindahannya terdapat pada keterurutan dan keharmonisannya. Matematika sebagai ilmu tentang pola,artinya bahwa teorema-teorema yang telah diterima pembuktiannya secara deduktifmerupakan pola atau patron yang dapat digunakan secara umum dan prosespembuktiannya secara terurut serta mengikuti aturan-aturan sesuai rangkaiankonsep dalam matematika. Rangkaian konsep dalam matematika tidak hanya berhubungan denganbilangan-bilangan, operasi serta sifat-sifatnya, tetapi juga berhubungan denganruang sebagai sasarannya. Konsep matematika tidak hanya menelusuri permasalahandalam bidang-bidang dan ruang, tetapi juga terapannya dalam ilmu-ilmu lain,seperti fisika, kimia, dan ekonomi. Karena itu, (Kline yang dikutip Karso 1993), bahwa matematika itubukan pengetahuan yang menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri tetapikeberadaannya itu untuk membantu manusia memahami dan menguasai permasalahan sosial,ekonomi, dan alam. Jadi, eksistensi matematika bukan hanya untuk kepentingandirinya sendiri, tetapi juga sangat membantu perkembangan ilmu-ilmu lain.Selain itu, eksistensi matematika di satu sisi menjadikan banyak para ahi pikirmenjadi matematikawan, sedangkan di sisi lain yang menggunakan konsep danprinsip matematika untuk kajian bidang ilmu fisika, biologi, teknik, danekonomi menjadikan dirinya sebagai ilmuwan, fisikawan, biologiwan, teknokratdan ekonom.
Faktaini diilhami (Hollans 1993)memilah-milah matematika menjadi tigabagian, yakni matematika modern,matematika murni dan matematika terapan. Matematika modern ialah suatu system logika dari matematika yangdikembangkan dari pernyataan-pernyataan yang diterima tanpa bukti (oksioma). Matematika murnimatematika terapan adalah matematika yang dapat dipakai secara praktispada ilmu lain, seperti fisika, teknik, kimia dan ilmu social.
Pendapatdi atas mencerminkan, bahwa matematika modern lebih banyak diwarnai olehpernyataan dalam bentuk seperti: jika pmaka q; p dan q; p atau q, yang dapat diterima secaralogis, walaupun tanpa melalui pembuktian. Matematika murni lebih ditekankanpada pengkajian antara unsur tak terdifinisikan, terdifinisi, aksioma,pustolat, sifat, sehingga melahirkan berbagai teorema dalam rangka pengembanganilmu matematika itu sendiri. Sedangkan matematika terapan lebih banyakdigunakan secara praktis dalam pengembangan ilmu lain, seperti Ilmu pengetahuanalam, teknik, dan ilmu-ilmu social. Pendapat (Hollans dan Kline dalam Suriasumantri 1989) yangmenyatakan, bahwa matematika merupakan salah satu puncak kegemilanganintelektual, perhitungan matematis menjadi dasar bagi desain ilmu teknik.Matematika memberikan inspirasi kepada pemikiran di bidang social dan ekonomi.Selain itu, memberikan warna kepada kegiatan seni lukis dan arsitektur. Jikakita melihat batasan atau pengertian yang dikemukaan di atas tampak bahwa satusama lain saling terpisah, tergantung dari sudut pandangnya masing-masing,namun secara keseluruhan merupakan satu kesatuan yang saling melengkapi.
Denganadanya perkembangan matematika, maka lahirlah berbagai aliran yang memberikan pendapat tentang matematika.
Aliran-aliranitu yaitu
(1) aliran logistic berpendapat bahwamatematika merupakan cara berpikir logis yang salah satu benar dapat ditentukantanpa mempelajari dunia empiris;
(2) aliran intuisionis berpendapat bahwa intuisi murni dariberhitung merupakan titik tolak matematika bilangan dan
(3) aliran formalis berpendapat bahwamatematika merupakan pengetahuan tentang struiktur formal dan lambang.
Jikadikaji ketiga aliran tersebut, maka dapat dikatakan bahwa aliran logistic lebihmenekankan pada cara berpikir logis dengan prinsip-prinsip dasar sebagaiberikut:
(a). konsepmatematika dapat diturunkan dari konsep-konsep logika dengan melalui perumusanyang jelas dan tepat; dan
(b).teorema-teorema yang telah dirumuskan dapat diturunkan dari aksioma-aksiomalogika dengan menggunakan penalaran dedutif.
adalah ilu tentang adalah matematika yangtidak mempunyai penerapan praktis dan dipelajari hanya untuk kepentinganpengembangan ilmu matematika itu sendiri, Sedangkan Aliranintuisionismenekankan bahwa hakikat sebuah bilangan harus dapat dibentuk melalui kegiatanintuitif dalam berhitung dan menghitung tidak bergantung pada pengalaman.Simbol atau lambing hanya merupakan media untuk menyampaikan jalan pikiranseseorang kepada orang lain agar dapat mengikuti jalan pikiran orang tersebut.
Sedangkanaliranformalis menekankan, bahwa struktur, symbol-simbol dan langkah-langkahpengoperasian merupakan inti matematika. Karena itu symbol yang digunakan harusmewakili semua sasaran yang dikaji dalam matematika. Selain itu, aliran inilebih menekankan pada aspek formal matematika sebagai bahasa perlambang dankonsisten dalam penggunaan matematika sebagai bahasa lambang.
Dariketiga aliran di atas, terdapat perbedaan pandangan, namun tidak menghambatmatematika, justru menimbulkan inspirasi baru antara aliran dengan lainnya,seperti kaum logistic mempergunakan system symbol yang dikembangkan oleh kaumformalis dalam kegiatan analisis. Kaum intuisionis memberikan titik tolak untukmempelajari matematika dalam perspektif kebudayaan suatu masyarakat. Sedangkanaliran formalis menggunakan logika yang menjadi titik tolak kaum logistic,dalam penalaran matematika.
Selaintiga aliran di atas, pada zaman (Descartes dikutip Naga 1980) terdapat dua aliran besar dalam filsafatmatematika, yakni aliran rasionalisme dan aliran empirisme.
Aliranrasionalismemendasarkan pembahasan pada pemikiran rasional sedangkan aliran empirismemendasarkan pemikirannya pada pengamatan dan pengalaman.
Daribeberapa pendapat di atas, tampak aliranlogistic dan rasionalismeterdapat titik kesamaan pandang, yakni keduanya menekankan pada kekuatanpemikiran manusia dalam pengembangan matematika, kebenaran matematikadidasarkan atas alasan-alasan logis dengan menggunakan pembuktian deduktif.
Sehubungandengan hal ini, (Hudoyo 1979)menyatakan bahwa matematika seringkali dilukiskan dengan suatu kumpulan systemmatematika yang mempunyai struktur tersendiri yang sifatnya deduktif. Matematikatidak hanya berhubungan dengan bilangan-bilangan secara operasinya, tetapi jugaberhubungan dengan ruang sebagai sasarannya. Karena itu, penelaahan matematikatidak hanya sekedar kuantitas, tetapi juga titik beratnya pada hubungan pola dan struktur.
Pendapat(Hudoyo sejalan dengan Jamesand James dalam Karso1993) yang menyatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang struktur yangbersifat deduktif atau aksiomatik, akurat, abstrak, ketat dan semacamnya. Matematikatidak hanya berkaitan dengan bilangan beserta operasinya, namun berhubunganpula dengan unsur lain.
Keduapendapat tersebut lebih dipertegas oleh (Johson and Rising dalam Karso 1993) menyatakan bahwamatematika adalah:
(1) Pola pikir,pola mengorganisir pembuktian logis,
(2) Bahasa yangmenggunakan istilah yang didefinisikan secara cermat dan jelas dan akurat,representasinya dengan symbol yang padat, dan
(3) Pengetahuanstruktur yang terorganisir, sifat-sifat atau teori-teori yang dianut secaradeduktif berdasarkan unsur-unsur yang telah didefinisikan atau tidak,aksioma-aksioma serta teori-teori yang telah dibuktikan kebenarannya.
Strukturmatematika itu sendiri dimulai dari pengertian, aksioma atau postulat dandefinisi yang kemudian diturunkan menjadi teorema yang kebenarannya ditunjukkanoleh suatu bukti.
Matematikaterorganisasi dari unsur-unsur yang didefinisikan, aksioma atau postulat yangmenghasilkan dalil-dalil yang diakui kebenarannya jika telah dibuktikan secaradeduktif.
Dapatsaja suatu dalil dalam matematika ditemukan secara induktif, namun begitu suatupola, aturan,dari dalil-dalil itu diketemukan maka dalil-dalil itu hasil dapatdibuktikan kebenarannya secara umum atau deduktif.
Daripengertian tersebut ternyata matematika yang merupakan sarana berpikirdeduktif, dapat saja menggunakan metode penalaran induktif dan analogissehingga matematika dapat dipergunakan dalam membina penalaran dan caraberpikir logis peserta didik.
Namundalam kenyataan banyak hal yang dipertimbangkan, sebagai mana pendapat (Suriasumantri 1995), bahwa padapenarikan kesimpulan secara iinduktif kekeliruan tak bisa dihindari.Kegiatannya lebih banyak mendasarkan pada alat, yang pada hakikatnya tidak lepasdari cacat serta ketelitian dan kekeliruan. Dalam pengambilan kesimpulantidaklah cukup hanya menggunakan cara berpikir induktif, namun lebih baikmenggunakan cara berpikir deduktif, karena metode deduktif mengandalkanbeberapa fakta yang sebelumnya dianggap benar dan kesimpulannya akhir yangditarik merupakan konsekuensi dari fakta-fakta yang sebelumnya telah diketahuikebenarannya.
Dalampenalaran matematika membutuhkan pemahaman yang mendalam terhadap symbol-simbol/ lambang yang sangat bermanfaat dalam mengkomsumsikan ide-ide secara efektifdan efisien dalam rangka memperoleh hasil pemikiran secara deduktif.
Pendapat(Suriasumantri 1995) bahwa matematikasebagai bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari pernyataan yang ingindisampaikan. Lambang-lambang matematika bersifat ‘artifisial’ yang baru mempunyai arti sebuah makna pada setiap lambangatau symbol tanpa diberikam makna, maka matematika hanya merupakan kumpulanrumus-rumus yang mati.
Salahsatu tujuan penalaran cara berpikir deduktif dalam matematika adalah ke arahproses generalisasi yang merupakan bagian penting dari berpikir matematis.Sebagaimana proses mendapatkan rumus-rumus atau dalil-dalil yang dapat berlakuumum dan sebaliknya dari struktur umum kembali ke struktur khusus. Sistem matematikakonsisten terhadap kebenaran sebelumnya karena pendekatan logis yang digunakandalam generalisasi, dimulai dengan definisi dan aksioma, kemudian menyampaikansatu teorema yang dinyatakan sebagai suatu pernyataan yang dapat dibuktikandengan menggunakan penalaran deduktif.
Berdasarkan pendapat para ahli diatas, dapat kita simpulkan:
(1) Matematika adalah ilmu pengetahuan tentang struktur yangterorganisasi;
(2). Matematika adalah ilmu deduktif;
(3) Matematika adalah ilmu tentang pola dan hubungan;
(4) Matematika mencakup empat wawasan besar yaitu aritmetika, aljabar,geometri dan analisis;
(5) Matematika adalah bahasa yang menggunakan istilah secara cermat,jelas, akurat dan representasinya dengan symbol yang padat;
(6) Matematika adalah ilmu tentang logika; dan
(7) Matematika ilah ilmu tentang bilangan dan ruang serta operasinya.(Akhmad Dakhlan)
§ 4. HakikatMatematika:
Matematika: pengetahuan mengenai kuantiti dan ruang, salahsatu cabang dari sekian banyak cabang ilmu yang sistematis, teratur dan aksak.
Matematika: angka-angka dan perhitungan yang merupakanbagian dari kehidupan manusia, membantu manusia menafsirkan (prediksi) secaraeksak berbagai ide dan kesimpulan.
Matematika: pengetahuan / ilmu pengetahuan mengenai logikadan probem numeric, membahas fakta-fakta dan hubungan-hubungannya sertamembahas problem ruang dan bentuk.
Matematika: queen of science (ratunya ilmu),reputasinya tidak bernoda dalam hal metode, validitas dan logikanya, masihmempunyai problema dalam hal dasar logika.
Matematika hanya dikembangkan secara sebagian-sebagian danterus-menerus mengalami perubahan, baik metode maupun isinya. Walaupunmatematika jauh lebih eksak dari ilmu-ilmu social dan lebih eksak dariilmu-ilmu fisik, matematika tidaklaheksak secara absolute.
Bagi seseorang yang telah diindoktrinasi dalam dalamkebenaran absolute dan kesempurnaan matematika, jika melakukan studi tentangahli-ahli dan sejarah matematika, bias kehilangan harapan, tetapi bias jugamenemukan cahaya terang.
Pengembangan matematika telah dilakukan secara tidakteratur, secara berulang dan serampangan. Oleh karena itu tugas kedua yangpenting dari ahli matematika adalah membersihkan (membuang hal-hal yang tidakkonsisten) dan menyempurnakan pengembangan matematika yang tidak diciptakanpara pendahulu. (Tugas pertama adalah menemukan dan menciptakan matematika),walaupun proses pengembangan matematika itu tidak teratur dan serampangan,produk akhir sangat mengagumkan, matematika hanya berisi sedikit inkonsistendan logika paradoks. Di samping kenyataan bahwa problema logika ada pada dasarmatematika, etrutama pada matematika himpunan dan elemen tak berhingga.
Matematika: alat akurat dan tak terletakkan dalam ilmu-ilmusocial, ekonomi dan teknologi. (Matematika: ratu semua ilmu, pelayan semuailmu).
Adapemuo (lelucon) yang menyatakan bahwa ahli matematika tidak mengetahui eksistensiobjek matematika yang mereka ciptakan dan juga tidak mengetahui kebenarandalil-dalil yang mereka buktikan.
Validitas kedua bagian pernyataan ini digambarkan olehpembentukan system bilangan asli secara aksioma oleh ahli logika matematikabangsa Italia Guiseppe Peano (1858 –1932) sebagai berikut:
(i). 1 adalah bilangan asli
(ii). Pengikut dari setiap bilangan asli salah bilangan asli(Pengikut = tambah 1)
(iii). Tidak ada dua bilangan asli yang berpengikut sama (Pengikut = kali nol)
(iv). 1 bukan pengikut dari setiap bilangan asli (Pengikut = kurang 1)
(v). setiap yang juga sifat semua pengikut bilangan asliadalah sifat semua bilangan asli.
Oksioma yang ke (v) ini dinamakan induksi matematika /induksi lengkap, jika istilah pengikut diartikan tambah satu (pengikut adalahdefinisi dasar = undefined term). Postulat (oksioma) ke (v) di atasmendefinisikan system atau himpunan bilangan asli 1, 2, 3 , … Akan tetapi,karena istilah pengikut adalah definisi dasar tidak didefinisikan, makapengikut itu diartikan dibagi tiga, maka postulat ke (v) menentukan bilangan:1, 1/3, 1/9, 1/27,…. Jadi walaupun telah didefinisikan bilangan asli nampak, kita tidak tahu secaratepat apa objek yang kita bicarakan itu.
Dengan menggunakan postulat ke (v) dan asumsi penjumlahandan perkalian dalam system bilangan asli, maka dalil.
1 + 2 + 3 + … + n= ½ n (n – 1), adalah benar, sebab
(a). Untuk n = 1,maka 1 = ½ . 1 (1 + 1)
(b). Untuk n = 2,maka 1+ 2 = ½ . 2 (2 + 1) atau bentuk lebih umum menjadi
untuk n = k,maka 1 + 2 + 3 + ….+ k = ½ k (k+ 1)
(c). Andaikan (asumsi) untuk n = k +1: 1 + 2 + 3 + … +k + (k + 1) = ½ k (k + 1) + (k + 1), maka= k + 2 .
= ½ (k + 1) [(k + 1) + 1]
Filsafat berarti “Cinta kepada ilmu”, berasal dari kata ‘Philo’ = cinta dan “Sophos’ = ilmu atau hikmah. Secara historis, filsafat menjadi induksegala ilmu pengetahuan yang berkembang sejak zaman Yunani kuno (Greek) sampaizaman modern sekarang. [Ontology,Epistomologi, dan Axiologi].
§2
HakikatMatematika:
Matematika berasal dari bahasaYunani “Matthein’ atau ‘Matethenein’ yang artinya mempelajari,kata ini erat kaitannya dengan kata Sansekerta, ‘Medha’ atau ‘Widya’artinya kepandaian atau intelegensia.
Matematika sebagai salah satuilmu dasar, dewasa ini berkembang amat pesat, baik materi maupun kegunaannya.Matematika mencakup Aritmetika (kajian tentang bilangan dan hitungan), Aljabar(kajian tentang bahasa symbol, operasi hitung dan relasi), Geometri (kajian tentangbentuk, ukuran, ruang dan keterhubungan), Statistika (ilmu tentangpengumpulan, pengolahan, deskripsi data dan inferensi), Kalkulus (kajian tentangperubahan, limit dan keterhinggaan).
Matematika (KBBI), berarti tentangbilangan-bilangan, hubungan antara bilangan dan prosedur operasional yangdigunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan.
Matematika sesungguhnya tidakhanya membahas tentang bilangan saja akan tetapi lebih tepat jika dikatakanbahwa matematika adalah ilmu pengetahuan tentang penalaran yang logis danmasalah-masalah yang berhubungan dengan bilangan. Untuk memperjelas pengertianmatematika dari beberapa ahli diantaranya Suriasumantri
Dalam mempelajari matematikadapat dilakukan sebagian demi sebagian saja mengingat matematika adalah suatuilmu yang prerequisite dan terkait antara satu bahasan (materi) dengan bahasanyang lainnya, artinya pokok bahasan yang satu sangat terkait dengan pokokbahasan yang lainnya.
menyatakan Matematika mempunyai kelebihan lain dibanding bahasa verbal.Matematika mengembangkan bahasa numerik yang memungkinkan kita untuk melakukanpengukuran secara kuantitatif.Karso, menyatakan dalam memahami konsep matematika didasarioleh konsep-konsep sebelumnya. Matematika tersusun secara hirarkis yang satusama lainnya berkaitan erat konsep yang lebih tinggi tidak mungkin dapatdipahami sebelum memahami dengan baik konsep atau bahasan sebelumnya yangmenjadi prasyarat. Ini berarti belajar matematika berdasarkan kepada pengalamanbelajar masa lalu. Seseorang akan mudah mempelajari suatu materi matematikayang baru bila didasarkan kepada apa yang telah diketahui sebelumnya. Masalah pengalaman mempelajari yang lalu akanmempengaruhi proses belajar materi matematika berikutnya yang tersusun secarfahirarkis.
Matematika sebagai ilmu eksakta, yang berfungsi sebagai alatmenyelesaikan setiap masalah di bidang ilmu-ilmu eksakta.,. Sujono, menyatakan matematika adalah cabang ilmupengetahuan yang eksak dan terorganisasi secara sistematik. Pandangan inimemberi arti bahwa matematika dapat merupakan pengetahuan eksak. Hal inimemungkinkan matematika mengembangkan konsep pengukuran yang bersifatkuantitatif. Matematika adalah ilmuyang memberikan jawaban/penyelesaian yang lebih karena bersifat eksak,memungkinkan pemecahan masalah lebih tetap dan cermat.
Matematika merupakan ilmu yang memungkinkan perkembangan darikualitatif menjadi kuantitatif.
Pandangan manusia tentangmatematika berbeda-beda, tergantung pada pengetahuan dan pengalaman masing-masing;matematika tidak hanya perhitungan yang meliputi tambah, kurang, bagi dan kalisaja tetapi ada pula juga melibatkan topik-topik seperti geometri, aritmetika,aljabar, kalkulus dan trigonometri.. (Hasnati)
§3.
Sampaisaat ini pengertian matematika belum mendapat satu kesepakatan antar paramatematikawan. Namun demikian, (James and James yang dikutip Karso, 1993) menyatakan bahwamatematika timbul dan berakar dari pemikiran manusia yang berhubungan dengan ide,proses dan penalaran.
Dalamperkembangan disiplim ilmu matematika, penyaluran ide tersebut melalui prosesyang ditunjang dengan penalaran. Penalaran ini membutuhkan pengamatan, bahkanpercobaan-percobaan dalam memperoleh fakta yang dapat digunakan sebagai bahanargumentasi.
Jadiide sebagai hasil pemikiran manusia itu akan memiliki struktur dan system tertentu yang hubungan-hubungannya diaturmenurut aturan, urutan yang logis dansistematik.
Lebihlanjut (James and James) menyatakan bahwa matematika terdiri dari empatwawasan yang luas, yaitu aritmetika, aljabar, geometri dan analisis.. Matematikastrukturyang bersifat deduktif atau aksiomatik, akurat, ketat dan semacamnya.
Sedangmenurut (Russel yang dikutip Ruseeffendi 1988) menyatakan bahwa “Mathematics is the queen of the seciences” (Matematikaadalah ratunya ilmu).
Matematikaitu tidak bergantung kepada bidang ilmu lain. Matematika adalah ilmu pengetahuan tentang struktur yangterorganisasikan yang didasarkan pada unsur-unsur yang tak terdifinisikan, aksioma atau postulat dan dapatditurunkan menjadi teorema atau dalilyang pembuktiannya dapat diterima secara deduktif. Deduktif artinyamengandalkan beberapa fakta yang sebelumnya dianggap benar dan kesimpulan akhiryang ditarik merupakan konsekuensi logis dari fakta-fakta tersebut yangsebelumnya telah diketahui. Jadi matematika dapat observasi, pengamatan,coba-coba (induktif) yang tidak dapat diterima secara umum, tetapi generalisasiyang didasarkan pada pembuktian secara deduktif. Selain itu (Johanson andRising seperti dikutip Karso1993) menyatakan bahwa matematikaadalah ilmu tentang pola, keteraturanpola, atau ide dan matematika adalah suatu seni, keindahannya terdapat pada keterurutan dan keharmonisannya. Matematika sebagai ilmu tentang pola,artinya bahwa teorema-teorema yang telah diterima pembuktiannya secara deduktifmerupakan pola atau patron yang dapat digunakan secara umum dan prosespembuktiannya secara terurut serta mengikuti aturan-aturan sesuai rangkaiankonsep dalam matematika. Rangkaian konsep dalam matematika tidak hanya berhubungan denganbilangan-bilangan, operasi serta sifat-sifatnya, tetapi juga berhubungan denganruang sebagai sasarannya. Konsep matematika tidak hanya menelusuri permasalahandalam bidang-bidang dan ruang, tetapi juga terapannya dalam ilmu-ilmu lain,seperti fisika, kimia, dan ekonomi. Karena itu, (Kline yang dikutip Karso 1993), bahwa matematika itubukan pengetahuan yang menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri tetapikeberadaannya itu untuk membantu manusia memahami dan menguasai permasalahan sosial,ekonomi, dan alam. Jadi, eksistensi matematika bukan hanya untuk kepentingandirinya sendiri, tetapi juga sangat membantu perkembangan ilmu-ilmu lain.Selain itu, eksistensi matematika di satu sisi menjadikan banyak para ahi pikirmenjadi matematikawan, sedangkan di sisi lain yang menggunakan konsep danprinsip matematika untuk kajian bidang ilmu fisika, biologi, teknik, danekonomi menjadikan dirinya sebagai ilmuwan, fisikawan, biologiwan, teknokratdan ekonom.
Faktaini diilhami (Hollans 1993)memilah-milah matematika menjadi tigabagian, yakni matematika modern,matematika murni dan matematika terapan. Matematika modern ialah suatu system logika dari matematika yangdikembangkan dari pernyataan-pernyataan yang diterima tanpa bukti (oksioma). Matematika murnimatematika terapan adalah matematika yang dapat dipakai secara praktispada ilmu lain, seperti fisika, teknik, kimia dan ilmu social.
Pendapatdi atas mencerminkan, bahwa matematika modern lebih banyak diwarnai olehpernyataan dalam bentuk seperti: jika pmaka q; p dan q; p atau q, yang dapat diterima secaralogis, walaupun tanpa melalui pembuktian. Matematika murni lebih ditekankanpada pengkajian antara unsur tak terdifinisikan, terdifinisi, aksioma,pustolat, sifat, sehingga melahirkan berbagai teorema dalam rangka pengembanganilmu matematika itu sendiri. Sedangkan matematika terapan lebih banyakdigunakan secara praktis dalam pengembangan ilmu lain, seperti Ilmu pengetahuanalam, teknik, dan ilmu-ilmu social. Pendapat (Hollans dan Kline dalam Suriasumantri 1989) yangmenyatakan, bahwa matematika merupakan salah satu puncak kegemilanganintelektual, perhitungan matematis menjadi dasar bagi desain ilmu teknik.Matematika memberikan inspirasi kepada pemikiran di bidang social dan ekonomi.Selain itu, memberikan warna kepada kegiatan seni lukis dan arsitektur. Jikakita melihat batasan atau pengertian yang dikemukaan di atas tampak bahwa satusama lain saling terpisah, tergantung dari sudut pandangnya masing-masing,namun secara keseluruhan merupakan satu kesatuan yang saling melengkapi.
Denganadanya perkembangan matematika, maka lahirlah berbagai aliran yang memberikan pendapat tentang matematika.
Aliran-aliranitu yaitu
(1) aliran logistic berpendapat bahwamatematika merupakan cara berpikir logis yang salah satu benar dapat ditentukantanpa mempelajari dunia empiris;
(2) aliran intuisionis berpendapat bahwa intuisi murni dariberhitung merupakan titik tolak matematika bilangan dan
(3) aliran formalis berpendapat bahwamatematika merupakan pengetahuan tentang struiktur formal dan lambang.
Jikadikaji ketiga aliran tersebut, maka dapat dikatakan bahwa aliran logistic lebihmenekankan pada cara berpikir logis dengan prinsip-prinsip dasar sebagaiberikut:
(a). konsepmatematika dapat diturunkan dari konsep-konsep logika dengan melalui perumusanyang jelas dan tepat; dan
(b).teorema-teorema yang telah dirumuskan dapat diturunkan dari aksioma-aksiomalogika dengan menggunakan penalaran dedutif.
adalah ilu tentang adalah matematika yangtidak mempunyai penerapan praktis dan dipelajari hanya untuk kepentinganpengembangan ilmu matematika itu sendiri, Sedangkan Aliranintuisionismenekankan bahwa hakikat sebuah bilangan harus dapat dibentuk melalui kegiatanintuitif dalam berhitung dan menghitung tidak bergantung pada pengalaman.Simbol atau lambing hanya merupakan media untuk menyampaikan jalan pikiranseseorang kepada orang lain agar dapat mengikuti jalan pikiran orang tersebut.
Sedangkanaliranformalis menekankan, bahwa struktur, symbol-simbol dan langkah-langkahpengoperasian merupakan inti matematika. Karena itu symbol yang digunakan harusmewakili semua sasaran yang dikaji dalam matematika. Selain itu, aliran inilebih menekankan pada aspek formal matematika sebagai bahasa perlambang dankonsisten dalam penggunaan matematika sebagai bahasa lambang.
Dariketiga aliran di atas, terdapat perbedaan pandangan, namun tidak menghambatmatematika, justru menimbulkan inspirasi baru antara aliran dengan lainnya,seperti kaum logistic mempergunakan system symbol yang dikembangkan oleh kaumformalis dalam kegiatan analisis. Kaum intuisionis memberikan titik tolak untukmempelajari matematika dalam perspektif kebudayaan suatu masyarakat. Sedangkanaliran formalis menggunakan logika yang menjadi titik tolak kaum logistic,dalam penalaran matematika.
Selaintiga aliran di atas, pada zaman (Descartes dikutip Naga 1980) terdapat dua aliran besar dalam filsafatmatematika, yakni aliran rasionalisme dan aliran empirisme.
Aliranrasionalismemendasarkan pembahasan pada pemikiran rasional sedangkan aliran empirismemendasarkan pemikirannya pada pengamatan dan pengalaman.
Daribeberapa pendapat di atas, tampak aliranlogistic dan rasionalismeterdapat titik kesamaan pandang, yakni keduanya menekankan pada kekuatanpemikiran manusia dalam pengembangan matematika, kebenaran matematikadidasarkan atas alasan-alasan logis dengan menggunakan pembuktian deduktif.
Sehubungandengan hal ini, (Hudoyo 1979)menyatakan bahwa matematika seringkali dilukiskan dengan suatu kumpulan systemmatematika yang mempunyai struktur tersendiri yang sifatnya deduktif. Matematikatidak hanya berhubungan dengan bilangan-bilangan secara operasinya, tetapi jugaberhubungan dengan ruang sebagai sasarannya. Karena itu, penelaahan matematikatidak hanya sekedar kuantitas, tetapi juga titik beratnya pada hubungan pola dan struktur.
Pendapat(Hudoyo sejalan dengan Jamesand James dalam Karso1993) yang menyatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang struktur yangbersifat deduktif atau aksiomatik, akurat, abstrak, ketat dan semacamnya. Matematikatidak hanya berkaitan dengan bilangan beserta operasinya, namun berhubunganpula dengan unsur lain.
Keduapendapat tersebut lebih dipertegas oleh (Johson and Rising dalam Karso 1993) menyatakan bahwamatematika adalah:
(1) Pola pikir,pola mengorganisir pembuktian logis,
(2) Bahasa yangmenggunakan istilah yang didefinisikan secara cermat dan jelas dan akurat,representasinya dengan symbol yang padat, dan
(3) Pengetahuanstruktur yang terorganisir, sifat-sifat atau teori-teori yang dianut secaradeduktif berdasarkan unsur-unsur yang telah didefinisikan atau tidak,aksioma-aksioma serta teori-teori yang telah dibuktikan kebenarannya.
Strukturmatematika itu sendiri dimulai dari pengertian, aksioma atau postulat dandefinisi yang kemudian diturunkan menjadi teorema yang kebenarannya ditunjukkanoleh suatu bukti.
Matematikaterorganisasi dari unsur-unsur yang didefinisikan, aksioma atau postulat yangmenghasilkan dalil-dalil yang diakui kebenarannya jika telah dibuktikan secaradeduktif.
Dapatsaja suatu dalil dalam matematika ditemukan secara induktif, namun begitu suatupola, aturan,dari dalil-dalil itu diketemukan maka dalil-dalil itu hasil dapatdibuktikan kebenarannya secara umum atau deduktif.
Daripengertian tersebut ternyata matematika yang merupakan sarana berpikirdeduktif, dapat saja menggunakan metode penalaran induktif dan analogissehingga matematika dapat dipergunakan dalam membina penalaran dan caraberpikir logis peserta didik.
Namundalam kenyataan banyak hal yang dipertimbangkan, sebagai mana pendapat (Suriasumantri 1995), bahwa padapenarikan kesimpulan secara iinduktif kekeliruan tak bisa dihindari.Kegiatannya lebih banyak mendasarkan pada alat, yang pada hakikatnya tidak lepasdari cacat serta ketelitian dan kekeliruan. Dalam pengambilan kesimpulantidaklah cukup hanya menggunakan cara berpikir induktif, namun lebih baikmenggunakan cara berpikir deduktif, karena metode deduktif mengandalkanbeberapa fakta yang sebelumnya dianggap benar dan kesimpulannya akhir yangditarik merupakan konsekuensi dari fakta-fakta yang sebelumnya telah diketahuikebenarannya.
Dalampenalaran matematika membutuhkan pemahaman yang mendalam terhadap symbol-simbol/ lambang yang sangat bermanfaat dalam mengkomsumsikan ide-ide secara efektifdan efisien dalam rangka memperoleh hasil pemikiran secara deduktif.
Pendapat(Suriasumantri 1995) bahwa matematikasebagai bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari pernyataan yang ingindisampaikan. Lambang-lambang matematika bersifat ‘artifisial’ yang baru mempunyai arti sebuah makna pada setiap lambangatau symbol tanpa diberikam makna, maka matematika hanya merupakan kumpulanrumus-rumus yang mati.
Salahsatu tujuan penalaran cara berpikir deduktif dalam matematika adalah ke arahproses generalisasi yang merupakan bagian penting dari berpikir matematis.Sebagaimana proses mendapatkan rumus-rumus atau dalil-dalil yang dapat berlakuumum dan sebaliknya dari struktur umum kembali ke struktur khusus. Sistem matematikakonsisten terhadap kebenaran sebelumnya karena pendekatan logis yang digunakandalam generalisasi, dimulai dengan definisi dan aksioma, kemudian menyampaikansatu teorema yang dinyatakan sebagai suatu pernyataan yang dapat dibuktikandengan menggunakan penalaran deduktif.
Berdasarkan pendapat para ahli diatas, dapat kita simpulkan:
(1) Matematika adalah ilmu pengetahuan tentang struktur yangterorganisasi;
(2). Matematika adalah ilmu deduktif;
(3) Matematika adalah ilmu tentang pola dan hubungan;
(4) Matematika mencakup empat wawasan besar yaitu aritmetika, aljabar,geometri dan analisis;
(5) Matematika adalah bahasa yang menggunakan istilah secara cermat,jelas, akurat dan representasinya dengan symbol yang padat;
(6) Matematika adalah ilmu tentang logika; dan
(7) Matematika ilah ilmu tentang bilangan dan ruang serta operasinya.(Akhmad Dakhlan)
§ 4. HakikatMatematika:
Matematika: pengetahuan mengenai kuantiti dan ruang, salahsatu cabang dari sekian banyak cabang ilmu yang sistematis, teratur dan aksak.
Matematika: angka-angka dan perhitungan yang merupakanbagian dari kehidupan manusia, membantu manusia menafsirkan (prediksi) secaraeksak berbagai ide dan kesimpulan.
Matematika: pengetahuan / ilmu pengetahuan mengenai logikadan probem numeric, membahas fakta-fakta dan hubungan-hubungannya sertamembahas problem ruang dan bentuk.
Matematika: queen of science (ratunya ilmu),reputasinya tidak bernoda dalam hal metode, validitas dan logikanya, masihmempunyai problema dalam hal dasar logika.
Matematika hanya dikembangkan secara sebagian-sebagian danterus-menerus mengalami perubahan, baik metode maupun isinya. Walaupunmatematika jauh lebih eksak dari ilmu-ilmu social dan lebih eksak dariilmu-ilmu fisik, matematika tidaklaheksak secara absolute.
Bagi seseorang yang telah diindoktrinasi dalam dalamkebenaran absolute dan kesempurnaan matematika, jika melakukan studi tentangahli-ahli dan sejarah matematika, bias kehilangan harapan, tetapi bias jugamenemukan cahaya terang.
Pengembangan matematika telah dilakukan secara tidakteratur, secara berulang dan serampangan. Oleh karena itu tugas kedua yangpenting dari ahli matematika adalah membersihkan (membuang hal-hal yang tidakkonsisten) dan menyempurnakan pengembangan matematika yang tidak diciptakanpara pendahulu. (Tugas pertama adalah menemukan dan menciptakan matematika),walaupun proses pengembangan matematika itu tidak teratur dan serampangan,produk akhir sangat mengagumkan, matematika hanya berisi sedikit inkonsistendan logika paradoks. Di samping kenyataan bahwa problema logika ada pada dasarmatematika, etrutama pada matematika himpunan dan elemen tak berhingga.
Matematika: alat akurat dan tak terletakkan dalam ilmu-ilmusocial, ekonomi dan teknologi. (Matematika: ratu semua ilmu, pelayan semuailmu).
Adapemuo (lelucon) yang menyatakan bahwa ahli matematika tidak mengetahui eksistensiobjek matematika yang mereka ciptakan dan juga tidak mengetahui kebenarandalil-dalil yang mereka buktikan.
Validitas kedua bagian pernyataan ini digambarkan olehpembentukan system bilangan asli secara aksioma oleh ahli logika matematikabangsa Italia Guiseppe Peano (1858 –1932) sebagai berikut:
(i). 1 adalah bilangan asli
(ii). Pengikut dari setiap bilangan asli salah bilangan asli(Pengikut = tambah 1)
(iii). Tidak ada dua bilangan asli yang berpengikut sama (Pengikut = kali nol)
(iv). 1 bukan pengikut dari setiap bilangan asli (Pengikut = kurang 1)
(v). setiap yang juga sifat semua pengikut bilangan asliadalah sifat semua bilangan asli.
Oksioma yang ke (v) ini dinamakan induksi matematika /induksi lengkap, jika istilah pengikut diartikan tambah satu (pengikut adalahdefinisi dasar = undefined term). Postulat (oksioma) ke (v) di atasmendefinisikan system atau himpunan bilangan asli 1, 2, 3 , … Akan tetapi,karena istilah pengikut adalah definisi dasar tidak didefinisikan, makapengikut itu diartikan dibagi tiga, maka postulat ke (v) menentukan bilangan:1, 1/3, 1/9, 1/27,…. Jadi walaupun telah didefinisikan bilangan asli nampak, kita tidak tahu secaratepat apa objek yang kita bicarakan itu.
Dengan menggunakan postulat ke (v) dan asumsi penjumlahandan perkalian dalam system bilangan asli, maka dalil.
1 + 2 + 3 + … + n= ½ n (n – 1), adalah benar, sebab
(a). Untuk n = 1,maka 1 = ½ . 1 (1 + 1)
(b). Untuk n = 2,maka 1+ 2 = ½ . 2 (2 + 1) atau bentuk lebih umum menjadi
untuk n = k,maka 1 + 2 + 3 + ….+ k = ½ k (k+ 1)
(c). Andaikan (asumsi) untuk n = k +1: 1 + 2 + 3 + … +k + (k + 1) = ½ k (k + 1) + (k + 1), maka= k + 2 .
= ½ (k + 1) [(k + 1) + 1]
RSS Feed